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こんにちは、サロン経営ラボの井上です。
「現代数理統計学の基礎」（久保川達也著）（共立出版）という統計学の分野ではとても有名な書籍があります。
今回この投稿では、上記書籍の演習問題を解いて、私の学習記録として保存していこうと思います。
この書籍にあるような数理統計学の基礎を身に付け、美容室をはじめとしたサロン経営に生かせるよう取り組んでいきます！
※あくまで個人的な学習記録ですので正解を保証する記事ではありません。
書籍紹介
今回のブログで使用している書籍は、共立出版社による「現代数理統計学の基礎」（久保川）です。
この書籍は文字通り数理統計学の基礎的な部分が学べる良書で、実務などで統計学の応用的な手法を使用して分析を行うデータサイエンティスト等にとって身につけておきたい内容と言えるでしょう。
しかし、書名に”基礎”と入っていますが、難易度は高めです。
私自身も統計学を応用して実務に使用することがあるので、一通り書籍の内容を身につけていきたいと思います。
（著作権のこともあり、問題文は掲載せず解いたノートのみ貼り付けて記録します。）
リンク
※演習問題を解く際に、以下のサイト等を参考にさせていただきました。
・著者である久保川氏の解答・解説サイト
https://sites.google.com/site/ktatsuya77
・@toukei(Ryuji Hashimoto)さんの解説ブログ
https://qiita.com/toukei/items/f9c19bf506b9894ba04e
・友人（統計学博士）のアドバイス
※★のついた問題は私の理解が不十分であると感じた問題です。
第2章「確率分布と期待値」
「問1」正規化定数Cと分布関数（cdf）を求める問題
「問2」確率密度関数（pdf）を求め、与えられている関数が分布関数であることを示す問題
「問3」$g(x)$が確率密度関数であることを示し、$f(x) = e^{-x},$,$x>0$,$a=1$の時の$g(x)$を求める問題
「問4」特定の期待値を最小にする$t$を求める問題
「問5」$0<h<k$の時、$k$次モーメントをもとに、$h$次モーメントの存在を示す問題
「問6」$X$の期待値が存在する時、$E[X] = \sum_{k=0}^{\infty} \{ 1 – F(k) \}$を示す問題
「問7」(1)$E[X] = \int_{0}^{\infty} {1 – F(x)} \,dx – \int_{-\infty}^{0} F(x) \,dx$を示す問題
「問7」(2)$E[X] = \int_{0}^{1} F^{-1}(t) \,dt$を示す問題
「問8」確率密度関数$f(x-\mu)$について、$f(y)=f(-y)$が成り立つ時、$E[X]=\mu$を示す問題
「問9」$Y$の上側$100\alpha\%$分位点$x_\alpha$を求める問題
「問10」(1)積率母関数（mgf）を求める問題
「問10」(2)$E[X^k]$を求める問題
「問10」(3)変数変換$Y=X\sigma+\mu$の確率密度関数（pdf）と分布関数（cdf）を求める問題
「問11」確率関数であることを示し、確率母関数(pgf)と積率母関数(mgf)などを求める問題
（次ページへ続く）